第二题:f在闭区间[a,b]上可导,那么f在[a,b]上连续,所以f在[a,b]上有最大值。
根据条件,对于所有c∈(a,b),有f(c)>0。又因f(a)=f(b)=0,存在c∈(a,b)使得f(c)是f在[a,b]上的最大值,且有f(c)>0。
另外,f(c)是最大值且c不是[a,b]的端点,那么必须有f ‘ (c)=0, 所以c是个极大值点。那么存在δ>0使得f在(c- δ,c)上递增,在(c,c+ δ)上递减,即f ' 在(c- δ,c)上大于0,在(c,c+ δ)小于0。
取x∈(c- δ,c), y∈(c,c+ δ),那么有x<y,f ’ (x)>0,f ' (y)<0,根据拉格朗日中值定理,存在ζ∈(x,y)满足: f '' (ζ)=(f ' (x)-f ' (y))(x-y)<0I