数量金融习题（一）
第1-5章
1. 什么是远期和期货，两者有什么区别？
远期是合约双方承诺在将来某一天以特定价格买进或卖出一定数量的标的物。期货是标准化的远期合约。交易场所不同、合约的规范性不同、交易风险不同、保证金制度不同、履约责任不同、期货有每日无负债结算制度。
2. 什么是远期价格？ 假设市场无风险利率为5%， 且当前时刻标的资产的现货价格为100，请问此资产半年期的远期价格是多少？ 若当前市场上的半年期远期价格为100，请问是否存在套利空间？若是，请设计相应的投资策略。
远期价格是用交易时的即期价格加上持有成本，是远期市场为当前交易的一个远期合约而提供的交割价格，它使得远期合约的当前价值为零。
3. 假设我们签了一份30天后以每盎司17.2美元卖出白银的期货合约，交易量为5000盎司。我们的初始保证金为4000美元，维持保证金为3000美元。请问保证金金额如何随白银期货价格变化？ 什么情况下我们需要追加保证金？
4. 假设当前外汇市场上，1美元可兑换6人民币元，1欧元可兑换7.5人民币元，若1欧元可兑换1.2美元，请设计一个投资策略以获得无风险利润。假设每次交易手续费为交易额的1%，若一投资人有人民币现金100元，请问此策略能获利多少？
5. 什么是期权？ 请写出标准欧式看涨期权与标准欧式看跌期权到期时刻的价格。
6. 一投资人以4美元的价格卖出一个到期日为一年的欧式看涨期权。当前时刻标的股票的价格为47美元，期权的执行价格为50美元。请问哪些情况下这个投资人能获得收益，请画出到期日期权的收益曲线图（假定利率r为常数）。
7. 解释为什么卖空期权需要支付保证金而购买期权不需要支付。
8. 假设市场无风险利率r为常数，当前时刻标的资产的价格S0，一个到期日为T执行价格为K的欧式看涨期权的下界为 （提示：用无套利原理）。
9. 考虑一个到期日为2个月，执行价格为65美元的欧式看跌期权。假设当前时刻标的股票的价格为58美元，市场利率为5%。计算这个期权价格的上界与下界。
10. 如何构造牛市差价组合？什么情况下，投资人会考虑牛市差价组合？
11. 假设市场上两种欧式期权，一种是执行价格为50美元的欧式看涨期权价格为2美元，另一种是执行价格为45美元的欧式看跌期权价格为3美元。请问如何利用这两种期权构造宽跨式组合？请画出这个投资组合的到期收益（不考虑利率）。
12. 假设市场上有到期日同为3个月，但执行价格为15美元，17.5美元，20美元的欧式看涨期权，它们的价格分别为4美元，2美元和0.5美元。请问如何用它们构造蝶式组合？请画出这个投资组合的到期收益（不考虑利率）。
13. 考虑一支价格为30美元的股票，它的漂移率和波动率分别为9%与20%。 请在Excel中画出此股票5年内的价格变化（要求时间步长为一个月）。请问5年后这支股票价格大于50美元的概率是多少。
14. 令 为布朗运动，证明 满足马尔科夫性质与鞅性质。
15. 假设S&P 500 指数 S(t) 满足Black-Scholes 模型
若市场利率为常数r, 请写出S&P 500 指数的期限为T的远期价格的随机微分方程。说明以S&P 500 指数为标的的欧式期权和以S&P 500 指数远期价格为标的的欧式期权有何关联。
16. 假设市场利率是随机的，可以用CIR 模型来描述，即
模型的参数均为正常数。请计算r(t) 的数学期望和方差。我们需要用到以下的公式：对任意的随机积分，它的数学期望为0,
方差满足伊藤等式
(提示： 令 , 写出 X(t) 的随机微分方程算出 E(X(t)), 然后写出 的随机微分方程，可算出 . )
17. 回顾我们如何利用资产定价理论在Black-Scholes模型下推导出期权价格的偏微分方程。假设某外国货币兑换本国货币的汇率波动满足Vasicek 模型
模型的参数均为正常数。假设本国利率为常数r。 在不考虑外国利率的情况下，请推导出以外汇为标的资产的欧式看涨期权价格的偏微分方程以及终值条件。若外国利率为常数 ， 请问期权价格所对应的方程如何变动？
第1-5章
1. 什么是远期和期货，两者有什么区别？
远期是合约双方承诺在将来某一天以特定价格买进或卖出一定数量的标的物。期货是标准化的远期合约。交易场所不同、合约的规范性不同、交易风险不同、保证金制度不同、履约责任不同、期货有每日无负债结算制度。
2. 什么是远期价格？ 假设市场无风险利率为5%， 且当前时刻标的资产的现货价格为100，请问此资产半年期的远期价格是多少？ 若当前市场上的半年期远期价格为100，请问是否存在套利空间？若是，请设计相应的投资策略。
远期价格是用交易时的即期价格加上持有成本，是远期市场为当前交易的一个远期合约而提供的交割价格，它使得远期合约的当前价值为零。
3. 假设我们签了一份30天后以每盎司17.2美元卖出白银的期货合约，交易量为5000盎司。我们的初始保证金为4000美元，维持保证金为3000美元。请问保证金金额如何随白银期货价格变化？ 什么情况下我们需要追加保证金？
4. 假设当前外汇市场上，1美元可兑换6人民币元，1欧元可兑换7.5人民币元，若1欧元可兑换1.2美元，请设计一个投资策略以获得无风险利润。假设每次交易手续费为交易额的1%，若一投资人有人民币现金100元，请问此策略能获利多少？
5. 什么是期权？ 请写出标准欧式看涨期权与标准欧式看跌期权到期时刻的价格。
6. 一投资人以4美元的价格卖出一个到期日为一年的欧式看涨期权。当前时刻标的股票的价格为47美元，期权的执行价格为50美元。请问哪些情况下这个投资人能获得收益，请画出到期日期权的收益曲线图（假定利率r为常数）。
7. 解释为什么卖空期权需要支付保证金而购买期权不需要支付。
8. 假设市场无风险利率r为常数，当前时刻标的资产的价格S0，一个到期日为T执行价格为K的欧式看涨期权的下界为 （提示：用无套利原理）。
9. 考虑一个到期日为2个月，执行价格为65美元的欧式看跌期权。假设当前时刻标的股票的价格为58美元，市场利率为5%。计算这个期权价格的上界与下界。
10. 如何构造牛市差价组合？什么情况下，投资人会考虑牛市差价组合？
11. 假设市场上两种欧式期权，一种是执行价格为50美元的欧式看涨期权价格为2美元，另一种是执行价格为45美元的欧式看跌期权价格为3美元。请问如何利用这两种期权构造宽跨式组合？请画出这个投资组合的到期收益（不考虑利率）。
12. 假设市场上有到期日同为3个月，但执行价格为15美元，17.5美元，20美元的欧式看涨期权，它们的价格分别为4美元，2美元和0.5美元。请问如何用它们构造蝶式组合？请画出这个投资组合的到期收益（不考虑利率）。
13. 考虑一支价格为30美元的股票，它的漂移率和波动率分别为9%与20%。 请在Excel中画出此股票5年内的价格变化（要求时间步长为一个月）。请问5年后这支股票价格大于50美元的概率是多少。
14. 令 为布朗运动，证明 满足马尔科夫性质与鞅性质。
15. 假设S&P 500 指数 S(t) 满足Black-Scholes 模型
若市场利率为常数r, 请写出S&P 500 指数的期限为T的远期价格的随机微分方程。说明以S&P 500 指数为标的的欧式期权和以S&P 500 指数远期价格为标的的欧式期权有何关联。
16. 假设市场利率是随机的，可以用CIR 模型来描述，即
模型的参数均为正常数。请计算r(t) 的数学期望和方差。我们需要用到以下的公式：对任意的随机积分，它的数学期望为0,
方差满足伊藤等式
(提示： 令 , 写出 X(t) 的随机微分方程算出 E(X(t)), 然后写出 的随机微分方程，可算出 . )
17. 回顾我们如何利用资产定价理论在Black-Scholes模型下推导出期权价格的偏微分方程。假设某外国货币兑换本国货币的汇率波动满足Vasicek 模型
模型的参数均为正常数。假设本国利率为常数r。 在不考虑外国利率的情况下，请推导出以外汇为标的资产的欧式看涨期权价格的偏微分方程以及终值条件。若外国利率为常数 ， 请问期权价格所对应的方程如何变动？
