设 n=(2^x)*3，n+1=(5^y)*7*11，n+2=(2^k)*13*17*19
本贴命题等价于下列指数方程（特例）有无穷多组解：
3*2^x + 7*11*5^y + 13*17*19*2^k = 3(n+1)
分别取y=2，k=1，有
3*2^x + 9168 = 3(n+1)
显然，3|9168，对于任意的 x > 0，上式均有解。
故知：在题设条件下，存在无穷多个正整数n，使得命题成立。

第(1)小题可以看这个贴子1楼贴的答案，构造一类特别的数来证明的
问题A61：

第(2)题也可以用特殊的数来构造，设n=2^k，k为正整数
则ω(n)=1，ω(n+1)= ω(2^k+1)，ω(n+2)= ω(2^k+2) = ω(2^(k-1)+1)+1
要使 ω(n)<ω(n+1)<ω(n+2)，只需要 ω(2^(k-1)+1)≥ω(2^k+1)≥2 就可以

可以证明对任意正整数n≥3，都存在某个正整数k使 2^n+1≤k≤2^(n+1)-1 并且满足ω(2^(k-1)+1)≥ω(2^k+1)≥2
因为当2^n+1≤k≤2^(n+1)-1 时，2^k+1 不是费马数，所以不会是素数，ω(2^k+1)≥2
而假如不存在k使ω(2^(k-1)+1)≥ω(2^k+1)，说明ω(2^k+1)在这个范围内单调递增
也就是1≤ω(2^2^n+1) < ω(2^(2^n+1)+1) <…<ω(2^(2^(n+1)-1)+1)
所以 ω(2^(2^(n+1)-1)+1)≥2^n
那 2^(2^(n+1)-1)+1 ≥ 从小到大前2^n个素数的乘积 > 4^2^n
(m≥5时，从小到大前m个素数的乘积≥2×3×5×7×11^(m-4) ≥ 2×3×5×7×11×4^(-5)×4^m > 4^m)
但 2^(2^(n+1)-1)+1 < 2^(2^(n+1))= 4^2^n，矛盾，所以对任意n≥3，都存在这样的k使2^n+1≤k≤2^(n+1)-1 且 ω(2^(k-1)+1)≥ω(2^k+1)≥2