请问定积分计算弧长和面积时参数方程和换元法存在什么关系？
起因是遇到给参数方程求面积的问题时我都会把他转化成定积分换元法来做，
例如单位圆x²+y²=1
参数方程是x=cost y=sint
直角坐标解析式是y=√（1-x²）（一、二象限）y=-√（1-x²）（三、四象限）
求面积就是∫|y|dx
用定积分换元法做（令x=cost）就变成∫|±|sint||（-sint）dt 对绝对值内的项恒等化简就是|sint|
这个化简后的结果和对参数方程中的φ（t）直接加绝对值（|φ（t）|=|sint|）后的结果是一样的
这种算法对其他能消参数求出直角坐标方程的图形也成立例如椭圆、星形线
我就想问是不是对于所有的曲线（直角坐标容易求出+直角坐标方程难求例如平摆线） 尽管通过换元法得到的y=y（t）和参数方程的y=φ（t）不同（差了正负号和绝对值符号），但由于求面积本身就需要对y加一个绝对值导致最后恒等化简的结果一样？
起因是遇到给参数方程求面积的问题时我都会把他转化成定积分换元法来做，
例如单位圆x²+y²=1
参数方程是x=cost y=sint
直角坐标解析式是y=√（1-x²）（一、二象限）y=-√（1-x²）（三、四象限）
求面积就是∫|y|dx
用定积分换元法做（令x=cost）就变成∫|±|sint||（-sint）dt 对绝对值内的项恒等化简就是|sint|
这个化简后的结果和对参数方程中的φ（t）直接加绝对值（|φ（t）|=|sint|）后的结果是一样的
这种算法对其他能消参数求出直角坐标方程的图形也成立例如椭圆、星形线
我就想问是不是对于所有的曲线（直角坐标容易求出+直角坐标方程难求例如平摆线） 尽管通过换元法得到的y=y（t）和参数方程的y=φ（t）不同（差了正负号和绝对值符号），但由于求面积本身就需要对y加一个绝对值导致最后恒等化简的结果一样？
