对给定的非零整数k, 方程y^2=x^3+k被称作莫德尔方程, 由莫德尔(Louis Joel Mordell)的开创性工作而得名
这类不定方程历史久远, y^2=x^3-2 源于费马有名的三明治定理 (欧拉给出过证明, 费马是否有证明见这里的讨论https://mathoverflow.net/questions/142220), y^2=x^3+-1 则被欧拉解决过
对|k|比较小的莫德尔方程, 要求出或证明不存在整数解有一些有用的方法, 包括使用同余式和二次剩余的初等方法, 或者特定二次整环中的分解. 要注意的是, 证明方程无整数解时考虑y^2=x^3+k (mod p)几乎没有效果. 就算是同一种方法, 每个方程的处理方式之间都有区别, 下面这篇文章介绍的挺全面, 几乎把|k|比较小的情况都研究了一遍:
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf
莫德尔所做的工作远不止于此. 以极好的成绩考进剑桥之后, 莫德尔几乎独自研究数论, 因为当时剑桥并没有什么研究数论的氛围. 在这个时期他对y^2=x^3+k这个不定方程很有兴趣, 反复研究过特定条件下求整数解的方法, 给出了19世纪以来的一些新结果, 其中一些很关键的结论最终能帮助他得到在1922年证明的“有限基”(finite base)定理: 椭圆曲线上有理点的加法群是有限生成的, 这曾经是庞加莱(Jules Henri Poincaré)的一个猜想. 此外他也证明了对任意给定的非零整数k, y^2=x^3+k的整数解个数有限.
这一有限基定理被韦伊(Andre Weil)推广后成为著名的Mordell-Weil定理, 西格尔(Carl Ludwig Siegel)用这一定理证明了椭圆曲线上的整点个数有限. 不过这些后续工作莫德尔并没有参与, 按照其他人的评价, 莫德尔是一个典型的问题解决者而非体系搭建者, 从他的成果中也可以看出这一点, 他对模形式和三次华林问题等等其它数论问题都有兴趣, 对几何数论也很有贡献. 下面这篇传记中说, 莫德尔在1910s的早期工作中并未得知已经被图埃(Axel Thue)证明的一个重要结论, 否则在当时他就能够确定ey^2=ax^3+bx^2+cx+d上的整点个数有限
https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1112/blms/6.1.69
传记中提到莫德尔对后世数学家的影响, 尽管他自己几乎是一个领域的先驱, 在早期研究时不受待见, 论文因结论隐蔽没能被认识到意义而被拒稿, 但有所建树之后, 他对研究生们的培养很积极, 在曼彻斯特任教以来, 1930s他与相当多的后世重要数学家有频繁的交流.
到了1969年年逾八旬的莫德尔才编写了此生第一部也是唯一一部专著: <Diophantine Equations>, 作为不定方程这个领域的重量级专家, 莫德尔厘清了各种已有的细枝末节, 对这个体系作了精彩的综述. 另外莫德尔发表过的论文标题也都收集在上面的传记当中, 其中早期有关莫德尔方程的几篇重要文献是:
"A statement by Fermat", Proc London Math. Soc, 18 (1919), v.
"Note on the integer solutions of the equation Ey^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx+D", Messenger of Math., 51 (1922), 169-171.
"On the rational solutions of the indeterminate equations of the 3rd and 4th degrees ",Proc. Camb. Phil. Soc, 21 (1922), 179-192.
"On the integer solutions of the equation ey^2 = ax^3 + bx^2 + cx+d", Proc. London Math. Soc, (2) 21 (1923), 415-419.
莫德尔还有一篇比较生动的晚年自传, 可以在这里看到
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Mordell_reminiscences/
这类不定方程历史久远, y^2=x^3-2 源于费马有名的三明治定理 (欧拉给出过证明, 费马是否有证明见这里的讨论https://mathoverflow.net/questions/142220), y^2=x^3+-1 则被欧拉解决过
对|k|比较小的莫德尔方程, 要求出或证明不存在整数解有一些有用的方法, 包括使用同余式和二次剩余的初等方法, 或者特定二次整环中的分解. 要注意的是, 证明方程无整数解时考虑y^2=x^3+k (mod p)几乎没有效果. 就算是同一种方法, 每个方程的处理方式之间都有区别, 下面这篇文章介绍的挺全面, 几乎把|k|比较小的情况都研究了一遍:
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf
莫德尔所做的工作远不止于此. 以极好的成绩考进剑桥之后, 莫德尔几乎独自研究数论, 因为当时剑桥并没有什么研究数论的氛围. 在这个时期他对y^2=x^3+k这个不定方程很有兴趣, 反复研究过特定条件下求整数解的方法, 给出了19世纪以来的一些新结果, 其中一些很关键的结论最终能帮助他得到在1922年证明的“有限基”(finite base)定理: 椭圆曲线上有理点的加法群是有限生成的, 这曾经是庞加莱(Jules Henri Poincaré)的一个猜想. 此外他也证明了对任意给定的非零整数k, y^2=x^3+k的整数解个数有限.
这一有限基定理被韦伊(Andre Weil)推广后成为著名的Mordell-Weil定理, 西格尔(Carl Ludwig Siegel)用这一定理证明了椭圆曲线上的整点个数有限. 不过这些后续工作莫德尔并没有参与, 按照其他人的评价, 莫德尔是一个典型的问题解决者而非体系搭建者, 从他的成果中也可以看出这一点, 他对模形式和三次华林问题等等其它数论问题都有兴趣, 对几何数论也很有贡献. 下面这篇传记中说, 莫德尔在1910s的早期工作中并未得知已经被图埃(Axel Thue)证明的一个重要结论, 否则在当时他就能够确定ey^2=ax^3+bx^2+cx+d上的整点个数有限
https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1112/blms/6.1.69
传记中提到莫德尔对后世数学家的影响, 尽管他自己几乎是一个领域的先驱, 在早期研究时不受待见, 论文因结论隐蔽没能被认识到意义而被拒稿, 但有所建树之后, 他对研究生们的培养很积极, 在曼彻斯特任教以来, 1930s他与相当多的后世重要数学家有频繁的交流.
到了1969年年逾八旬的莫德尔才编写了此生第一部也是唯一一部专著: <Diophantine Equations>, 作为不定方程这个领域的重量级专家, 莫德尔厘清了各种已有的细枝末节, 对这个体系作了精彩的综述. 另外莫德尔发表过的论文标题也都收集在上面的传记当中, 其中早期有关莫德尔方程的几篇重要文献是:
"A statement by Fermat", Proc London Math. Soc, 18 (1919), v.
"Note on the integer solutions of the equation Ey^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx+D", Messenger of Math., 51 (1922), 169-171.
"On the rational solutions of the indeterminate equations of the 3rd and 4th degrees ",Proc. Camb. Phil. Soc, 21 (1922), 179-192.
"On the integer solutions of the equation ey^2 = ax^3 + bx^2 + cx+d", Proc. London Math. Soc, (2) 21 (1923), 415-419.
莫德尔还有一篇比较生动的晚年自传, 可以在这里看到
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Mordell_reminiscences/
