ZF+I3公理l0基数：存在一个非平凡初等嵌入j: L(Vᵨ₊₁)→L(Vᵨ₊₁)且临界点小于ρ，这里L表示相对可构造宇宙，是一种基于集合构造出的特定集合模型，V表示冯·诺依曼宇宙V，包含了“所有”集合的一个“大全集”概念，ρ是任意基数I1基数：存在一个非平凡基本嵌入j: Vᵨ₊₁→Vᵨ₊₁，ρ是任意基数I2基数：存在一个非平凡初等嵌入j: V →M其中Vρ⊆M且ρ是j的临界点之上的第一个不动点，这意味着j(ρ)＝ρ，嵌入是非平凡的，意味着至少有一个序数被移动了，即它的像不等于它本身，临界点是基本嵌入的最小序数I3基数：存在一个非平凡初等嵌入j:Vᵨ→Vᵨ，ρ是任意基数，这里的"非平凡"意味着嵌入不是恒等映射，即存至少一个序数α＜λ使得j(α)＝α
ZF+I0公理/伊卡洛斯基数（I0也是一类伊卡洛斯基数）伊卡洛斯基数存在一个初等嵌入j：L(V_λ+1,lcarus)→L(V_λ+1,lcarus)，为了不破坏L的刚性并让j是非恒等的，则其临界点必须低于λ，lcarus表示伊卡洛斯集伊卡洛斯集的条件：称Ｘ是伊卡洛斯集，当且仅当Ｖ_λ+2是lcarus与Y的不交并（即V_λ+2＝lcarus∪Y∧lcarus∩Y＝∅），以至于任意lcarus∈Y，j：(Ｖ_λ+1,lcarus∪{Ｙ})→(Ｖ_λ+1,lcarus∪{Ｙ})都可应用库能的证明，并且j：(Ｖ_λ+1,lcarus)→(Ｖ_λ+1,lcarus)就是j：V_λ+2→V_λ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式特定的不等式关系：令lcarus⊂V_λ+1为伊卡洛斯集，那么存在Y∈L(lcarus,V_λ+1)∩V_λ+2使得θ_L(lcarus,V_λ+1)＜θ_L(\,V_λ+1)，并且L(Y,V_λ+1)^♯存在以及L(Y,V_λ+1)^♯∈L(lcarus,V_λ+1)
ZF+莱茵哈特基数莱因哈特基数莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即，ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
ZF+I0公理/伊卡洛斯基数（I0也是一类伊卡洛斯基数）伊卡洛斯基数存在一个初等嵌入j：L(V_λ+1,lcarus)→L(V_λ+1,lcarus)，为了不破坏L的刚性并让j是非恒等的，则其临界点必须低于λ，lcarus表示伊卡洛斯集伊卡洛斯集的条件：称Ｘ是伊卡洛斯集，当且仅当Ｖ_λ+2是lcarus与Y的不交并（即V_λ+2＝lcarus∪Y∧lcarus∩Y＝∅），以至于任意lcarus∈Y，j：(Ｖ_λ+1,lcarus∪{Ｙ})→(Ｖ_λ+1,lcarus∪{Ｙ})都可应用库能的证明，并且j：(Ｖ_λ+1,lcarus)→(Ｖ_λ+1,lcarus)就是j：V_λ+2→V_λ+2之下与选择公理兼容的一致性最强的嵌入形式特定的不等式关系：令lcarus⊂V_λ+1为伊卡洛斯集，那么存在Y∈L(lcarus,V_λ+1)∩V_λ+2使得θ_L(lcarus,V_λ+1)＜θ_L(\,V_λ+1)，并且L(Y,V_λ+1)^♯存在以及L(Y,V_λ+1)^♯∈L(lcarus,V_λ+1)
ZF+莱茵哈特基数莱因哈特基数莱因哈特基数Reinhardt基数是非平凡基本嵌入的临界点j : V→V的V进入自身。这个定义明确地引用了适当的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|Φ(x,a)}对于某些集合a和公式Φ.但是在Suzuki中表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.还2有其他已知不一致的Reinhardt基数公式。一是新增功能符号j用ZF的语言，连同公理说明j是的基本嵌入V，以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用类理论，如NBG或KM，它们承认在上述意义上不需要定义的类。又或是有一个公理主张存在被称为Reinhardt基数的基数。这个基数公理在普通集合论的公理系统ZFC中不能很好地表达，例如，需要考虑可以把真正的类作为理论对象来处理的ZFC的扩展，但是基数κ为reinhardd在某个集合论的universe对自己的初等映射j中，存在κ为j(κ)≠κ的最小顺序数的情况。这个基数的概念引入后不久，这样的基数的存在与集合论的扩展相矛盾(即，ZFC的这样的扩张和主张Reinhardt基数存在的公理相结合的体系是矛盾的，或者ZFC的这样的扩张可以作为定理证明Reinhardt基数的不存在)。为了能够记述在以下叙述的Reinhardt基数的定义中j的存在主张，需要那样的扩展。对于某语言l，从L-结构m到L-结构n的映射f是初等的( elementary )是指，对于所有m的要素的组a0，...，an 1和所有谓语逻辑中的L-逻辑式( x0，...，xn1 )，m = ( elementary )
