整个故事起源于这个货：
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@jjkkt: 若1.999999...不等于2 则存在大于0的最小实数i使得i+1.9999999=2 因为实数是稠密的，所以i和0之间仍有无限多个实数 所以不存在大于0的最小实数i 所以1.999999..等于2
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当时我就驳斥过这个说法，只是我当时以为无穷小的运动性研究数学的都应该知道，结果很遗憾，这货完全听不懂。把我回复放这里，我估计也没几个看得懂：
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17778253: 回复 jjkkt :第一句就错了。“最小”哪儿来的？无穷小不是最小。“最小”是静止范畴，用来描述无穷小，这不找错呢？
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埃姆搜扫瑞。这太他么抽象了，脑袋里如果没有认识“运动”，应该是觉得我在说疯话。
当然无数人反驳他，因为这个证明从直觉上就是错的。于是呢，他又给出了这个证明：
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jjkkt: 因为 lim(2-1.999…)=0 而 lim(2-1.999…)=lim2-lim(1.999…)=2-1.999… 因为常数的极限是本身 所以2-1.999…=0 所以1.999…=2 这样可以吗？
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看起来很有道理是吧？我当时指出，这个证明有问题：
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17778253: 回复 jjkkt :你那个经典论证，如果转换成数列，就非常清楚了：2-1.999=2-1-0.999=1-0.999=1-1+power(10,-n)=power(10,-n).然后你随便怎么玩儿，power(10,-n)！=0。归根结底，反过来说，lim(1.999)=2,那等式就是2-2=0。在你对1.999取极限的时候，已经用无穷小将1.999补齐为一个静止的2了。
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然后呢，他继续挣扎，给出了这样的回复：
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jjkkt: 回复 17778253 :我说了那证明不严谨 只是用他们不严谨的思维来证明出反驳他们的结论 数学上1.999…就等于2 而不只是极限是2 懂？而且一个常数的极限就是他本身 你说他极限是2 不就是说他是2吗？呵呵 没常识啊 1.999…=2 常数的极限是他本身 这俩常识你不懂还和我高谈阔论集合悖论 去补习基础知识再装吧
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牛逼啊。本来一个正常的讨论，丫说我装，缺乏基础知识，然后我说你这不就是说无穷小等于0么？丫不理我了。那么到底是谁缺乏基础知识呢？让我来终结这个争论，把这个玩意儿到底是个啥，给大家分析下。
其实我的证明已经结束了他的论断了。在这里：
1.9999 表示无限循环小数，我可能写成1.9，可能写成1.999，不影响意思。
无穷小，代表一切收敛于零的数列。别说高阶还是低阶，那都是无穷小，其运动性质不变（看不懂忽略这句）。
假设1.9999=2。由于1.9999=2-10^(-n)=2，则-10^(-n)=0。由于-10^(-n)是无穷小量，也即，无穷小量等于零。
这与无穷小量的定义矛盾，无穷小量是收敛为0，而不是直接等于0。这其中的差别建立了微积分，后话不提。
至少，从数学上，这个等式被推翻了。
然后，是捏死丫的垂死挣扎。
他不断重复的是：“一个常数的极限就是他本身”。对，没错，就是这句话错了。
我不是说，一个常数的极限并非其本身，我要说的是，当你在谈论1.99999的时候，你认识它么？它是一个常数么？
前面已经提到，1.9999=2-10^(-n)，后半部分是前半部分更加严谨的表述。请注意这个n。lim1.999，因为敲字的原因，省略了lim下面那行小字：n->正无穷。n就是这个变量。
这个货之所以得到一个错误的等式，就是因为，他居然胆敢把一个带着变量的代数式当常量用，还要让其极限等于其自身。
1.99999压根不是什么常量，而是一个带有一个无穷小量的代数式。
那么，为什么会有人说，这是个常量呢？以我个人的理解，这是语义的不同。当他说，1.999是个常量的时候，他已经给这个代数式取过极限了。但是当我们直观的看到1.9999这个东西，很少有人觉得，这是个取过极限的数，我们就认为这玩意儿和2之间相差10^(-n)。
我不觉得这里边有对错问题，这本身就是需要预先说明的东西。例如2（1+3），有人说等于8，有人说这是俩数，2和4。你没说乘号省略，两种说法都对。
但是，如果故意隐瞒这个预设，而单取一种说法，往好了说，这是一根筋，往恶心了说，这是在装B。当然，装B挨雷劈。

我也只能说，在我眼里，2与1.999是不同的，前者指的是数轴上2的那个点，而后者，指的是与2相差一个无穷小的那个数。如果只是为了书写方便，直接写2就可以了，俺没那个心情去写1.99999

11楼你累不累啊，你直接就说
-10^(-n)=0
就得了，用那么多推导，最后得到个limAn=1......谁不知道啊？这就是推导0.9999的极限是1的过程，这过程不用你发，学过高数的都知道，故弄玄虚是咋的？
你告诉我，从limAn=1，由于n→∞，怎么就“所以0.9999……=1”了呢？你这推导步子迈的太大，扯到蛋了。
你只有证明，-10^(-n)=0，而不是lim(-10^(-n))=0，才能达到“不服不辨”这四个字。

对总结，我再给出一些解释：
第二次总结，承认，在实数范围内，我们要的是值，而不是运动的过程。当你只要一个确定的数的时候，无穷小=0。但，问题仍然存在，这部分问题，并不在实数范围内。
严格的说，无穷小在何时等于0？在n=正无穷的时候。
当你说，n趋向正无穷，你是在设定一个静止的正无穷，然后描述一个尚未达到结果的过程。而事实上，正无穷本身就是运动的。
认为10^(-n)=0，你知道你们忽略的是什么前提么？我问你，n是多少？
很多人会回答正无穷。正无穷又是多少？道格拉斯议长肯定会这样问你。你于是解释，什么对任意实数都存在一个XX，比无穷大小，比该实数大。
但是很奇怪的是，为什么你必须用一个描述性的无穷大给n，而无法用无穷大的“值”给n，但是你却可以，“胆敢”，用一个0，来等于无穷小？
你一旦这样做，你就已经假设n=无穷大了。然而，没有最大数，这是在实数轴的另一端，在你所能看到的范围外的东西。你必须描述这一超越的范畴，而不能简单的给它取值。
归根结底，无穷小的运动有终点，其终点为0，这让人们心安理得的假装这一运动终将结束，结束于0；而对无穷大，其终点就是其自身，人们干脆给个符号，到底多少，没人知道。一旦自己的运算中出现了无穷大的结果，运算无法继续。
第二次总结只是告诉你，研究n是有意义的，对无穷小的研究超越实数，实数里没有n，而高等数学里有。