首先，对数学问题的探讨总应该先从定义出发的。我们先来看看0.9无限循环的定义是什么。

那么0.9无限循环就是/sigma_{n=1}^{/infty}(9*1^{-n}）这个级数

我们又知道级数的定义其实是前N项和的极限。那么我们证明这个级数的前N项和这个关于N的序列的极限是1即可。
从epsilon delta定义即可直接证明。证毕

希望大家对这种比较基本的问题多从定义的角度出发思考

好像有的朋友总是纠结等于这件事，我想要更明确地指出，0.9循环 就是 1，同一个实数的两种不同表达形式，或者说同一个实数的两种不同十进制展开而已。

图上的证明在我看来不能算是错，但确实不严谨，或者说有跳步。主要是对无限小数的乘法定义的问题

一句话，0.99999循环本身表示一个级数和，级数和本身定义为一个序列的极限，这个序列的极限可以用epsilon-delta语言轻易地证明是1。

我觉得所有知道epsilon-delta语言范式的人都应该可以完全看懂我的上述证明。如果没有接触过epsilon-delta的话，我应该说您对数学中的“极限”概念是缺乏基本认识的，如果也不愿意花费一些经力去了解一下的话，最好就不要参与这个问题的探讨了。

一个数学证明是不接受结果上的批判的。不要跳过步骤直接指出“我觉得结果是错的，你看xxxx”。如果要探讨就请在步骤中指出逻辑谬误。

前两个等号都是右边是左边的定义式，最后一个等号用epsilon-delta显然证明。

你说的推导无限循环小数的分数表达的方法（假设是类似于原图中的“证明”方法），涉及到对无限小数使用乘法，但是这如果不把无限小数看做级数，再利用乘法分配律把因子分配到级数的项上的话，无限小数的乘法运算很难进行（至少在我的认知范围内没有很好的计算方法，比如0.272727循环乘以4要怎么计算呢）

关于极限为1的证明，latex没装中文包不好意思，大家凑合看