∑sin(π/2^n)，n∈N+，收敛，收敛于多少怎么算呢？

我构造了一个三角形，邻边为1，对边为x，斜边为sqrt(1+x^2)，这样sinθ=x/sqrt(1+x^2)，然后我又构造了一个不等式，当n≥2，0< x ≤ 1时有：1+∑sin(π/2^n) ≤ 1 + ∫x/sqrt(1+x^2)dx
∫x/sqrt(1+x^2) 在(0,1] 这个区间的值是 √2-1，然后我就说这个∑sin(π/2^n)收敛于√2
有没有哪里出错啊？