O3回答全文：
下文先回顾论文在第 4 节构造局部（再进一步延伸为全局）光滑解的总体路线，再把方程 (4.13)——尤其是其中第三个等式——一步步拆开推导，说明它不是凭空规定，而是由
线性化系统 (4.1)–(4.3) 的结构，
Friedrichs-平滑（mollifier） 的近似过程，
前一节得到的线性化能量估计
共同决定的必然结果。
1. 线性化框架
作者把原始的可压粘性、导热气体方程在平衡态 (p,u,θ)=(0,0,0)(p,u,\theta)=(0,0,0) 附近做了变换后得到三条耦合的线性化方程（记 y=(p,u,θ)y=(p,u,\theta)，vv 为给定输运速度）：
L0(p):=pt+vipxi+(1−Δ)viuxi=f,Li(u):=ut−μ+μ′1+ρΔui+⋯=gi,i=1,2,3,L4(θ):=θt−κ(γ−1)R11+ρΔθ+⋯=h.\begin{aligned}L_0(p) &:= p_t+v_i p_{x_i}+(1-\Delta)v_i u_{x_i}=f,\\L_i(u) &:= u_{t}-\frac{\mu+\mu'}{1+\rho}\,\Delta u_i +\cdots =g_i,\quad i=1,2,3,\\L_4(\theta)&:=\theta_t-\frac{\kappa}{(\gamma-1)R}\frac1{1+\rho}\Delta\theta+\cdots =h.\end{aligned}
（完整写法见论文 (4.2)–(4.3)）
其中“⋯\cdots”包含由 p,u,θp,u,\theta 互相耦合产生的非齐次项。要获得光滑解，作者采用“先线性化、再利用平滑逼近构造解”的常见步骤。
2. Friedrichs-平滑逼近
设 φδ(x)=δ−3φ(x/δ)\varphi_\delta(x)=\delta^{-3}\varphi(x/\delta) 是 Friedrichs 核，对任何函数 FF 定义
Fδ=φδ∗F.F_\delta =\varphi_\delta * F.
核的两个关键性质（Lemma 2.3）是：
∥Ciδ∥≤C∥F∥L2,Ciδ→0(δ→0)在L2中:contentReference[oaicite:1]index=1\|C^\delta_i\|\le C\|F\|_{L^2},\qquad C^\delta_i\to0\;(\delta\to0)\;{\rm 在}\;L^2\;{\rm 中} :contentReference[oaicite:1]{index=1}
它保证了卷积与微分几乎可交换，并能控制在能量估计中的误差。
3. 构造近似问题 (4.13)
将 (4.1)–(4.3) 中出现的一切未知量与已知系数（f,g,h,vf,g,h,v等）全部用 -δ 平滑后量替换：
(p,u,θ,f,g,h,v)⟶(pδ,uδ,θδ,fδ,gδ,hδ,vδ).(p,u,\theta,f,g,h,v)\;\longrightarrow\; (p_\delta,u_\delta,\theta_\delta,f_\delta,g_\delta,h_\delta,v_\delta).
于是得到近似线性问题
{L0(δ)(pδ)=fδ,Li(δ)(uδ)=gi,δ,i=1,2,3,L4(δ)(θδ)=hδ,(4.13)\boxed{\begin{cases}L_0^{(\delta)}(p_\delta)=f_\delta,\\[4pt]L_i^{(\delta)}(u_\delta)=g_{i,\delta}, & i=1,2,3,\\[4pt]L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta,\end{cases}}\tag{4.13}
其中 Lj(δ)L_j^{(\delta)} 只是把原来算子中的所有系数全部替换成平滑后的版本。由于核具有保正性和单位积分，上式在 δ>0\delta>0 时的所有系数均
C∞(R3)\,C^\infty(\mathbb R^3) 且有一致界，从而：
第 一行 用前面 Propos. 4.1 的双曲方程结论即可得到 pδp_\delta。
第 二行 用 Propos. 3.3 & 3.4 的抛物-双曲混合能量估计得到 uδu_\delta。
第三行（也是你关心的那个等式）与第二行完全对称——它来源于把温度方程 (4.3) 中的 ρ,u,θ\rho,u,\theta 都替换成平滑量后，再把右侧所有非齐次项（对流项、粘性耗散项等）整体平滑成 hδh_\delta。并不是“人为规定”的，而是“把 (4.3) 卷积一次”的直接结果。
换句话说：如果把 (4.3) 记为 L4(θ)=hL_4(\theta)=h，两边同时卷积得到
φδ∗L4(θ)=φδ∗h=:hδ.\varphi_\delta*L_4(\theta)=\varphi_\delta*h=:h_\delta.
利用卷积–微分可交换性（误差 Ciδ→0C_i^\delta\to0 已被吸收入 hδh_\delta）即可写成
L4(δ)(θδ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta.
所以第三等式并不是额外假设，它与前两条同源：都是把相应的线性算子及右端项先“平滑再求解”。
4. 近似解的存在与极限
对于每个固定 δ>0\delta>0，(4.13) 的三行都在经典能量框架内可解（前一节的能量不等式为它们提供了 H3H^3 内的 a-priori 估计）。
例如在 Proposition 3.3 中已经给出了u,θu,\theta 的 HkH^k-估计：
∥Dk(uδ,θδ)(t)∥L22+ν∫0t∥Dk+1(uδ,θδ)(τ)∥L22dτ≤⋯:contentReference[oaicite:2]index=2\|D^k(u_\delta,\theta_\delta)(t)\|_{L^2}^2+\nu\!\int_0^t\!\!\|D^{k+1}(u_\delta,\theta_\delta)(\tau)\|_{L^2}^2d\tau\le\cdots\; :contentReference[oaicite:2]{index=2}
估计对 δ\delta 一致，因此可取极限 δ→0\delta\to0，利用 Lemma 2.3 的收敛性把 (4.13) 的解族 (pδ,uδ,θδ)(p_\delta,u_\delta,\theta_\delta) 逼近原始线性化系统的解。
5. 小结：第三等式的“推导”逻辑
线性方程 (4.3) 本身是已知的。
卷积平滑 既作用在系数也作用在未知函数：θ↦θδ=φδ∗θ\theta\mapsto \theta_\delta=\varphi_\delta*\theta。
因为卷积与空间微分几乎可交换，差值用 Lemma 2.3 控制，遂得到
L4(δ)(θδ)=φδ∗L4(θ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)\;=\;\varphi_\delta*L_4(\theta)\;=\;h_\delta.
所以第三行 正是 (4.3) 在 “平滑-逼近” 意义下的形式保持；它与前两行同等地“从已知条件出发推导”——只是推导动作是一次“卷积+交换”的操作，而非代数运算。
进一步阅读建议
对流—扩散项与 mollifier 的交换误差：可详细查看 Lemma 3.1、2.3 中关于 [Lj,φδ∗][L_j, \varphi_\delta*] 的估计。
极限过程：作者在第 4 节后半部（紧跟 (4.13) 以后）使用紧性+一致估计证明 δ→0\delta\to0 极限存在并满足原线性化方程。你若感兴趣，可以继续顺着 Proposition 4.2 的论证读下去。
希望这份分步推导能让方程 (4.13) 尤其是第三个等式的来源和必要性更加清晰。若还有具体符号或某一步误差估计想深挖，欢迎继续提问！
下文先回顾论文在第 4 节构造局部（再进一步延伸为全局）光滑解的总体路线，再把方程 (4.13)——尤其是其中第三个等式——一步步拆开推导，说明它不是凭空规定，而是由
线性化系统 (4.1)–(4.3) 的结构，
Friedrichs-平滑（mollifier） 的近似过程，
前一节得到的线性化能量估计
共同决定的必然结果。
1. 线性化框架
作者把原始的可压粘性、导热气体方程在平衡态 (p,u,θ)=(0,0,0)(p,u,\theta)=(0,0,0) 附近做了变换后得到三条耦合的线性化方程（记 y=(p,u,θ)y=(p,u,\theta)，vv 为给定输运速度）：
L0(p):=pt+vipxi+(1−Δ)viuxi=f,Li(u):=ut−μ+μ′1+ρΔui+⋯=gi,i=1,2,3,L4(θ):=θt−κ(γ−1)R11+ρΔθ+⋯=h.\begin{aligned}L_0(p) &:= p_t+v_i p_{x_i}+(1-\Delta)v_i u_{x_i}=f,\\L_i(u) &:= u_{t}-\frac{\mu+\mu'}{1+\rho}\,\Delta u_i +\cdots =g_i,\quad i=1,2,3,\\L_4(\theta)&:=\theta_t-\frac{\kappa}{(\gamma-1)R}\frac1{1+\rho}\Delta\theta+\cdots =h.\end{aligned}
（完整写法见论文 (4.2)–(4.3)）
其中“⋯\cdots”包含由 p,u,θp,u,\theta 互相耦合产生的非齐次项。要获得光滑解，作者采用“先线性化、再利用平滑逼近构造解”的常见步骤。
2. Friedrichs-平滑逼近
设 φδ(x)=δ−3φ(x/δ)\varphi_\delta(x)=\delta^{-3}\varphi(x/\delta) 是 Friedrichs 核，对任何函数 FF 定义
Fδ=φδ∗F.F_\delta =\varphi_\delta * F.
核的两个关键性质（Lemma 2.3）是：
∥Ciδ∥≤C∥F∥L2,Ciδ→0(δ→0)在L2中:contentReference[oaicite:1]index=1\|C^\delta_i\|\le C\|F\|_{L^2},\qquad C^\delta_i\to0\;(\delta\to0)\;{\rm 在}\;L^2\;{\rm 中} :contentReference[oaicite:1]{index=1}
它保证了卷积与微分几乎可交换，并能控制在能量估计中的误差。
3. 构造近似问题 (4.13)
将 (4.1)–(4.3) 中出现的一切未知量与已知系数（f,g,h,vf,g,h,v等）全部用 -δ 平滑后量替换：
(p,u,θ,f,g,h,v)⟶(pδ,uδ,θδ,fδ,gδ,hδ,vδ).(p,u,\theta,f,g,h,v)\;\longrightarrow\; (p_\delta,u_\delta,\theta_\delta,f_\delta,g_\delta,h_\delta,v_\delta).
于是得到近似线性问题
{L0(δ)(pδ)=fδ,Li(δ)(uδ)=gi,δ,i=1,2,3,L4(δ)(θδ)=hδ,(4.13)\boxed{\begin{cases}L_0^{(\delta)}(p_\delta)=f_\delta,\\[4pt]L_i^{(\delta)}(u_\delta)=g_{i,\delta}, & i=1,2,3,\\[4pt]L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta,\end{cases}}\tag{4.13}
其中 Lj(δ)L_j^{(\delta)} 只是把原来算子中的所有系数全部替换成平滑后的版本。由于核具有保正性和单位积分，上式在 δ>0\delta>0 时的所有系数均
C∞(R3)\,C^\infty(\mathbb R^3) 且有一致界，从而：
第 一行 用前面 Propos. 4.1 的双曲方程结论即可得到 pδp_\delta。
第 二行 用 Propos. 3.3 & 3.4 的抛物-双曲混合能量估计得到 uδu_\delta。
第三行（也是你关心的那个等式）与第二行完全对称——它来源于把温度方程 (4.3) 中的 ρ,u,θ\rho,u,\theta 都替换成平滑量后，再把右侧所有非齐次项（对流项、粘性耗散项等）整体平滑成 hδh_\delta。并不是“人为规定”的，而是“把 (4.3) 卷积一次”的直接结果。
换句话说：如果把 (4.3) 记为 L4(θ)=hL_4(\theta)=h，两边同时卷积得到
φδ∗L4(θ)=φδ∗h=:hδ.\varphi_\delta*L_4(\theta)=\varphi_\delta*h=:h_\delta.
利用卷积–微分可交换性（误差 Ciδ→0C_i^\delta\to0 已被吸收入 hδh_\delta）即可写成
L4(δ)(θδ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta.
所以第三等式并不是额外假设，它与前两条同源：都是把相应的线性算子及右端项先“平滑再求解”。
4. 近似解的存在与极限
对于每个固定 δ>0\delta>0，(4.13) 的三行都在经典能量框架内可解（前一节的能量不等式为它们提供了 H3H^3 内的 a-priori 估计）。
例如在 Proposition 3.3 中已经给出了u,θu,\theta 的 HkH^k-估计：
∥Dk(uδ,θδ)(t)∥L22+ν∫0t∥Dk+1(uδ,θδ)(τ)∥L22dτ≤⋯:contentReference[oaicite:2]index=2\|D^k(u_\delta,\theta_\delta)(t)\|_{L^2}^2+\nu\!\int_0^t\!\!\|D^{k+1}(u_\delta,\theta_\delta)(\tau)\|_{L^2}^2d\tau\le\cdots\; :contentReference[oaicite:2]{index=2}
估计对 δ\delta 一致，因此可取极限 δ→0\delta\to0，利用 Lemma 2.3 的收敛性把 (4.13) 的解族 (pδ,uδ,θδ)(p_\delta,u_\delta,\theta_\delta) 逼近原始线性化系统的解。
5. 小结：第三等式的“推导”逻辑
线性方程 (4.3) 本身是已知的。
卷积平滑 既作用在系数也作用在未知函数：θ↦θδ=φδ∗θ\theta\mapsto \theta_\delta=\varphi_\delta*\theta。
因为卷积与空间微分几乎可交换，差值用 Lemma 2.3 控制，遂得到
L4(δ)(θδ)=φδ∗L4(θ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)\;=\;\varphi_\delta*L_4(\theta)\;=\;h_\delta.
所以第三行 正是 (4.3) 在 “平滑-逼近” 意义下的形式保持；它与前两行同等地“从已知条件出发推导”——只是推导动作是一次“卷积+交换”的操作，而非代数运算。
进一步阅读建议
对流—扩散项与 mollifier 的交换误差：可详细查看 Lemma 3.1、2.3 中关于 [Lj,φδ∗][L_j, \varphi_\delta*] 的估计。
极限过程：作者在第 4 节后半部（紧跟 (4.13) 以后）使用紧性+一致估计证明 δ→0\delta\to0 极限存在并满足原线性化方程。你若感兴趣，可以继续顺着 Proposition 4.2 的论证读下去。
希望这份分步推导能让方程 (4.13) 尤其是第三个等式的来源和必要性更加清晰。若还有具体符号或某一步误差估计想深挖，欢迎继续提问！
