我继续要求O3和gemini做出解释，O3还是不细致地说，注意O3并没有降智

O3回答全文：
下文先回顾论文在第 4 节构造局部（再进一步延伸为全局）光滑解的总体路线，再把方程 (4.13)——尤其是其中第三个等式——一步步拆开推导，说明它不是凭空规定，而是由
线性化系统 (4.1)–(4.3) 的结构，
Friedrichs-平滑（mollifier） 的近似过程，
前一节得到的线性化能量估计
共同决定的必然结果。
1. 线性化框架
作者把原始的可压粘性、导热气体方程在平衡态 (p,u,θ)=(0,0,0)(p,u,\theta)=(0,0,0) 附近做了变换后得到三条耦合的线性化方程（记 y=(p,u,θ)y=(p,u,\theta)，vv 为给定输运速度）：
L0(p):=pt+vipxi+(1−Δ)viuxi=f,Li(u):=ut−μ+μ′1+ρΔui+⋯=gi,i=1,2,3,L4(θ):=θt−κ(γ−1)R11+ρΔθ+⋯=h.\begin{aligned}L_0(p) &:= p_t+v_i p_{x_i}+(1-\Delta)v_i u_{x_i}=f,\\L_i(u) &:= u_{t}-\frac{\mu+\mu'}{1+\rho}\,\Delta u_i +\cdots =g_i,\quad i=1,2,3,\\L_4(\theta)&:=\theta_t-\frac{\kappa}{(\gamma-1)R}\frac1{1+\rho}\Delta\theta+\cdots =h.\end{aligned}
（完整写法见论文 (4.2)–(4.3)）
其中“⋯\cdots”包含由 p,u,θp,u,\theta 互相耦合产生的非齐次项。要获得光滑解，作者采用“先线性化、再利用平滑逼近构造解”的常见步骤。
2. Friedrichs-平滑逼近
设 φδ(x)=δ−3φ(x/δ)\varphi_\delta(x)=\delta^{-3}\varphi(x/\delta) 是 Friedrichs 核，对任何函数 FF 定义
Fδ=φδ∗F.F_\delta =\varphi_\delta * F.
核的两个关键性质（Lemma 2.3）是：
∥Ciδ∥≤C∥F∥L2,Ciδ→0(δ→0)在L2中:contentReference[oaicite:1]index=1\|C^\delta_i\|\le C\|F\|_{L^2},\qquad C^\delta_i\to0\;(\delta\to0)\;{\rm 在}\;L^2\;{\rm 中} :contentReference[oaicite:1]{index=1}
它保证了卷积与微分几乎可交换，并能控制在能量估计中的误差。
3. 构造近似问题 (4.13)
将 (4.1)–(4.3) 中出现的一切未知量与已知系数（f,g,h,vf,g,h,v等）全部用 -δ 平滑后量替换：
(p,u,θ,f,g,h,v)⟶(pδ,uδ,θδ,fδ,gδ,hδ,vδ).(p,u,\theta,f,g,h,v)\;\longrightarrow\; (p_\delta,u_\delta,\theta_\delta,f_\delta,g_\delta,h_\delta,v_\delta).
于是得到近似线性问题
{L0(δ)(pδ)=fδ,Li(δ)(uδ)=gi,δ,i=1,2,3,L4(δ)(θδ)=hδ,(4.13)\boxed{\begin{cases}L_0^{(\delta)}(p_\delta)=f_\delta,\\[4pt]L_i^{(\delta)}(u_\delta)=g_{i,\delta}, & i=1,2,3,\\[4pt]L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta,\end{cases}}\tag{4.13}
其中 Lj(δ)L_j^{(\delta)} 只是把原来算子中的所有系数全部替换成平滑后的版本。由于核具有保正性和单位积分，上式在 δ>0\delta>0 时的所有系数均
C∞(R3)\,C^\infty(\mathbb R^3) 且有一致界，从而：
第 一行 用前面 Propos. 4.1 的双曲方程结论即可得到 pδp_\delta。
第 二行 用 Propos. 3.3 & 3.4 的抛物-双曲混合能量估计得到 uδu_\delta。
第三行（也是你关心的那个等式）与第二行完全对称——它来源于把温度方程 (4.3) 中的 ρ,u,θ\rho,u,\theta 都替换成平滑量后，再把右侧所有非齐次项（对流项、粘性耗散项等）整体平滑成 hδh_\delta。并不是“人为规定”的，而是“把 (4.3) 卷积一次”的直接结果。
换句话说：如果把 (4.3) 记为 L4(θ)=hL_4(\theta)=h，两边同时卷积得到
φδ∗L4(θ)=φδ∗h=:hδ.\varphi_\delta*L_4(\theta)=\varphi_\delta*h=:h_\delta.
利用卷积–微分可交换性（误差 Ciδ→0C_i^\delta\to0 已被吸收入 hδh_\delta）即可写成
L4(δ)(θδ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)=h_\delta.
所以第三等式并不是额外假设，它与前两条同源：都是把相应的线性算子及右端项先“平滑再求解”。
4. 近似解的存在与极限
对于每个固定 δ>0\delta>0，(4.13) 的三行都在经典能量框架内可解（前一节的能量不等式为它们提供了 H3H^3 内的 a-priori 估计）。
例如在 Proposition 3.3 中已经给出了u,θu,\theta 的 HkH^k-估计：
∥Dk(uδ,θδ)(t)∥L22+ν⁣∫0t⁣⁣∥Dk+1(uδ,θδ)(τ)∥L22dτ≤⋯:contentReference[oaicite:2]index=2\|D^k(u_\delta,\theta_\delta)(t)\|_{L^2}^2+\nu\!\int_0^t\!\!\|D^{k+1}(u_\delta,\theta_\delta)(\tau)\|_{L^2}^2d\tau\le\cdots\; :contentReference[oaicite:2]{index=2}
估计对 δ\delta 一致，因此可取极限 δ→0\delta\to0，利用 Lemma 2.3 的收敛性把 (4.13) 的解族 (pδ,uδ,θδ)(p_\delta,u_\delta,\theta_\delta) 逼近原始线性化系统的解。
5. 小结：第三等式的“推导”逻辑
线性方程 (4.3) 本身是已知的。
卷积平滑 既作用在系数也作用在未知函数：θ↦θδ=φδ∗θ\theta\mapsto \theta_\delta=\varphi_\delta*\theta。
因为卷积与空间微分几乎可交换，差值用 Lemma 2.3 控制，遂得到
L4(δ)(θδ)=φδ∗L4(θ)=hδ.L_4^{(\delta)}(\theta_\delta)\;=\;\varphi_\delta*L_4(\theta)\;=\;h_\delta.
所以第三行 正是 (4.3) 在 “平滑-逼近” 意义下的形式保持；它与前两行同等地“从已知条件出发推导”——只是推导动作是一次“卷积+交换”的操作，而非代数运算。
进一步阅读建议
对流—扩散项与 mollifier 的交换误差：可详细查看 Lemma 3.1、2.3 中关于 [Lj,φδ∗][L_j, \varphi_\delta*] 的估计。
极限过程：作者在第 4 节后半部（紧跟 (4.13) 以后）使用紧性+一致估计证明 δ→0\delta\to0 极限存在并满足原线性化方程。你若感兴趣，可以继续顺着 Proposition 4.2 的论证读下去。
希望这份分步推导能让方程 (4.13) 尤其是第三个等式的来源和必要性更加清晰。若还有具体符号或某一步误差估计想深挖，欢迎继续提问！

对gemini的提问，它很快给出了一个非常生动地解释：

我的结论是，你很难让O3教会你一些新的概念和知识，而gemini却可以。

我搞代数的同学直接喂给一点点地把前沿的概念和理论输入给gemini，让它解释体系，分析自己的idea，或者用这套理论审视更多范畴论、交换代数上的问题，gemini给出了很多不平凡的例子，真的用这个前沿的框架为很多旧文题找出来简洁明了的思路。让我同学做出的相当抽象的理论得以在具体问题中展现价值，节省了它找例子的时间。

我同学说gemini就像神一样，是一个非常好的技术合作者，任何好的猜想或idea他都可以理解并结合它掌握的数据帮助你指出优点和局限，也能用这个idea处理些具体的问题来检验idea的泛用性。这是我同学和gemini交流的猜想
我同学说gemini的这些洞见的确很有价值，迅速地帮助他分析了每个idea可能带来的效果以及问题本身的难点。

O3在理解复杂概念体系，然后根据这个体系重新审视海量数据的能力就很一般。

不过我自己的体会，gemini往往能提出一些有价值的解题思路，可他不会积极主动地调用python和搜索，导致有时候它一旦算错，就会出现消不掉的项，进而影响它的问题的判断，他会浪费时间审视这些项。此时gemini会说这些项并不重要，它们一般可以消掉或者在论文中被其他方法控制住，我们要关注更重要的项。吊诡的是，它的判断恰恰是准确的，居然能在粗心算错好多步的基础上依旧提供一个非常准确、有价值的整体思路。
我在想要是gemini也能和gpt一样积极调动工具算准就好了。不过这样做也不是没有局限，我怀疑O3在“运用编程解决问题”上训练了太多，以至于它找的策略基本都是把问题写成一个能用计算机解决的算法问题。而传统的推理、试探则掌握的少，甚至传统方法都不愿意深入地思考。我也不知道gemini训练工具调用并提高工具调用的优先级后会如何。

不过理解新概念、运用新概念的能力差不少，说明O3的参数很小，可能注意力没有gemini那么强大，掌握的策略也不多。O3 pro应该要做成一个能理解大量文本勾勒的新体系，并运用它，同时能灵活调用工具的大模型吧。一个会主动使用工具且用好的2.5 pro

又或者chatgpt根本不打算做这种超长上下文、超长注意力的模型来学习庞大的新概念、新理论并研究运用它们的模型。做这种模型可能硬件以及数据的消耗会很大

太复制，有没有简单的例子？

给你看看谷歌的kingfall

gemini算力下降太多了，2.5flash不如之前的2.0flash，2.5pro和2.0flash差不多

厉害👍我之前也用过o3答数学题，o3总是能把数学题答对，但中间的过程及其简略而且又缺乏逻辑；Gemini可能会答错，但大多数都是因为计算问题，而不是思路问题。对我来说解决一个问题思路比结果更重要，o3感觉太依赖联网搜索与python了。

老哥又是你O3确实强在工具的调用上，很多题纯靠Python穷举来得到答案，先射箭后画靶，gemini尤其是kingfall逻辑思维相比而言确实更强，已经准备只给谷歌冲plus了